Симптомы очень похожи на недостаточный уровень масла. Проверте его в первую очередь, помните, что на многих автомобилях это делается на заведенном двигателе.
Данные симптомы говорят о том, что планетарная главная шестеренка (как точно называется не знаю) не зажимается фрикционами, значит либо не хватает давления либо фрикционы изношены.
Похожая ситуация у меня была на Тойоте, после замены масла все попало, т.ч. начинайте с начало с простого.

*пропало. :)

@razonar Была точно такая же фигня на BMW с её коробкой ZF. Симптомы были похожие. Когда переключаешься на D то включается или с задержкой или не включается. Когда начинаешь тихонько газовать, то включается и едет нормально. На светофорах когда останавливаешься, то тоже иногда как бы выключался драйв. Потом немного газку дашь и поехали…
Оказалось, что подтекал масляный радиатор коробки и было мало масла. радиатор поменяли, масла долили и по, крайней мере, еще полтора года она отьездила без проблем.